로지스틱 성장 + 수확 — 2차 곡선과 분기 시각화

생물수학의 기본 모델인 Verhulst 로지스틱 성장에 수확항(harvesting) 을 더해, 수확 강도를 올릴 때 평형점이 어떻게 사라지는지(분기, bifurcation)를 브라우저에서 보여주는 HTML 페이지입니다.

바로 보기 → https://lingard09.github.io/biomath-logistic-2d/

구성

파일	내용	바로 보기
index.html	2D 메인 페이지 — 성장 속도 곡선, 시간 궤적, 분기 다이어그램, 1인당 성장률	열기
3d.html	3D 확장 — 두 번째 파라미터를 축에 올려 평형 곡면과 접힘(fold)을 회전 가능한 3D로	열기
THEORY.md	수업용 이론 정리 — 안정성 해석 유도, MSY 함의, 시연 순서, 토론 질문, 참고문헌	—

실행

open index.html   # 2D 메인
open 3d.html      # 3D 확장

빌드·설치·의존성 없음. Canvas 2D로 직접 그립니다.

두 가지 수확 방식

1. 비례 수확 (constant effort) — 초임계 분기 transcritical

dN/dt = rN(1 − N/K) − hN = N·((r − h) − (r/K)N)

평형점	N = 0, N = K(1 − h/r)
분기점	h* = r
h < r	0은 불안정, K(1−h/r)가 안정 → 지속 가능
h > r	두 평형점이 안정성을 맞바꿈. 0이 유일한 안정 평형 → 멸종
지속 수확량	Y(h) = hK(1 − h/r), h = r/2에서 최대 rK/4 (MSY)

수확을 늘리면 평형 개체수가 연속적으로 0을 향해 줄어들기 때문에, 붕괴 전에 경고가 보입니다.

2. 정량 수확 (constant yield) — 안장-마디 분기 saddle-node

dN/dt = rN(1 − N/K) − H

포물선 전체가 아래로 H만큼 평행이동합니다.

평형점	N± = (K/2)(1 ± √(1 − 4H/rK))
분기점	H* = rK/4 (포물선 꼭짓점 높이 = MSY)
H < H*	큰 근 N+는 안정, 작은 근 N−는 불안정한 멸종 문턱(분리선)
H = H*	두 근이 N = K/2에서 충돌해 소멸
H > H*	평형점이 아예 없음 → 어떤 초기값에서도 유한 시간 안에 붕괴

비례 수확과 달리 평형 개체수가 K/2인 상태에서 경고 없이 통째로 사라집니다. MSY 바로 근처에서 조업하는 것이 왜 위험한지 보여주는 고전적인 예입니다.

화면 구성

1. 성장 속도 곡선 f(N) — 순수 로지스틱(점선), 수확 곡선(주황), 그 차이인 f(N)(파랑)을 겹쳐 그립니다. 교점이 평형점, x축 위 화살표가 위상선(phase line).
2. 시간 궤적 N(t) — RK4 수치적분. 여러 초기값을 함께 그려, 정량 수확에서 멸종 문턱 위/아래로 갈리는 분리선(separatrix)을 눈으로 확인할 수 있습니다.
3. 분기 다이어그램 — 가로축이 수확 강도, 세로축이 평형 개체수. 비례 수확은 두 가지가 교차하는 X자(초임계), 정량 수확은 두 가지가 만나 끝나는 접힘(안장-마디)이 나타납니다.
4. 1인당 성장률 — 비례 수확은 직선이 h만큼 내려가고, 정량 수확은 H/N 때문에 왼쪽에서 −∞로 발산합니다.

프리셋

수확 없음 · 지속 가능 · 초임계 분기 직전 · 수확 과다 → 멸종 · MSY 근처 · 안장-마디 이후 붕괴

3D 확장 (3d.html)

2D 페이지는 파라미터 하나만 움직이며 평형점을 봅니다. 3d.html은 두 번째 파라미터를 축에 추가해 평형 개체수 N*을 곡면의 높이로 그립니다 — 안장-마디 분기점이 곡면이 접히는 능선(fold curve)으로 드러납니다. 드래그로 회전, 스크롤로 확대/축소.

1. 안장-마디 접힘 곡면 — 축: H · K · N

dN/dt = rN(1 − N/K) − H

K를 고정한 단면이 2D 페이지의 분기 다이어그램과 정확히 같은 곡선입니다. 분기점 H* = rK/4가 제어변수 평면(H–K)에서 원점을 지나는 직선이 되고, 그 아래는 평형 2개 / 위는 0개입니다.

2. 알리 효과 쌍안정성 — 축: h · A · N

dN/dt = rN(1 − N/K)(N/A − 1) − hN

알리 효과(개체수가 임계값 A 아래로 떨어지면 성장률이 음이 됨)에 비례 수확을 결합한 모델입니다. −hN은 N=0에서 정확히 0이 되므로 멸종 상태가 h와 무관하게 항상 안정 평형으로 남고, 나머지 두 평형(불안정 문턱 + 그 위의 안정 평형)이 h*(A) = r(1−A/K)²/(4A/K)에서 접혀 사라집니다. → h를 다시 낮춰도 회복되지 않는 진짜 이력현상(hysteresis). 유전자 스위치·세포 운명 결정과 구조적으로 대응됩니다.

정량 수확(−H)으로는 이 쌍안정성이 나타나지 않습니다. H>0이면 N=0이 평형 자체가 아니기 때문에 평형 3개가 성립하는 곳이 H=0인 한 점뿐입니다. 같은 알리 효과라도 수확 방식에 따라 결론이 완전히 달라지는 이 대비는 그 자체로 좋은 수업 소재입니다 — 유도 과정은 THEORY.md 9장 참고.

수업 자료

THEORY.md에 강의용 이론 정리가 있습니다.

• 로지스틱 성장 기초와 두 수확 방식의 차이
• 평형점·안정성 해석 유도 (초임계 분기 / 안장-마디 분기 대비표)
• MSY와 관리적 함의 — MSY 근처 조업이 왜 위험한가
• 수업 시연 순서 제안 (이 사이트를 프리셋 순서대로 쓰는 가이드)
• 학생 토론·과제 질문 안, 참고문헌

검증

• RK4 궤적 vs 해석해(수확 없음): 최대 오차 1.2e-7
• 비례 h=0.3, r=0.6, K=1000 → 평형 500, RK4 수렴값 500.000
• 정량 H=140 (H*=150) → 평형 370.9 / 629.1, 문턱 위에서 출발 시 629.1로 수렴, 아래에서 출발 시 0으로 붕괴
• H=165 > H* → 평형점 0개, 모든 초기값이 0으로 붕괴